Էրիկ Վանյան «Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր Միջին դպրոց 6․10 դասարան 

1)ABC եռանկյան AD միջնագիծը շարունակված է BC-ի մյուս կողմում DE հատվածով, որը հավասար է AD-ին, իսկ E կետը միացված է C կետին։

ա)Ապացուցեք, որ եռանկյուն ABD = ECD

բ)Գտեք <ACE-ն, եթե <ACD = 56^o, <ABD = 40^o

2)ABC եռանկյունում <A = 80^o։ Տարված է ABC եռանկյան AM կիսորդը և ABM եռանկյան AK կիսորդը։ Գտեք BAK և KAC անկյունները։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)ABC եռանկյունում տարված է AK բարձրությունը։ Ինչպիսի՞ն է AKB անկյունը։

2)ABC եռանկյունում AB = 7սմ, BC = 6սմ, AC = 10սմ։ Տարված են այդ եռանկյան AD, BE և CF միջնագծերը։ Գտեք AF, BD և CE հատվածների երկարությունները։

3)ABC եռանկյունում <A = 66^o, <B = 42^o, <C = 72^o: Տարված են AM, BN և CK կիսորդները։ Գտեք BAM, BCK և NBC անկյունները։

1. Բադերն ու բադիկները միասին 16-ն են։ Բադերը 3 անգամ քիչ են բադիկներից։ Քանի՞ Բադիկ կա։

Պատասխան՝4 և 12։

1. 24 մետր քաթանը պետք է բաժանել երկու մասի այնպես, որ մի կտորը մյուսից 12 մետրով երկար լինի։ Քանի՞ Մետր երկարություն կունենա յուրաքանչյուր կտորը։

Պատասխան՝կարճը 6 մետր,երկարը 18 մետր։

1. 16 մետր երկարություն ունեցող թելը պետք է երկու մասի բաժանել այնպես, որ մեկը մյուսից 1 մետրով երկար լինի։ Քանի՞ մետր կլինի յուրաքանչյուր մասը։

Պատասխան՝7,5 մետր, իսկ մյուսինը՝ 8,5 մետր:

1. Դպրոց բերեցին ընդհանուր քանակով 690 սեղան ու աթոռ։ Աթոռները 230-ով սեղաններից շատ էին։ Քանի՞ սեղան և քանի՞ աթոռ բերեցին դպրոց։

Պատասխան՝230 սեղան և 460 աթոռ։

1. Դահուկավազքի մրցումներին մասնակցում էին 53 մարզիկ։ Աղջիկները 17-ով քիչ էին տղաներից։ Քանի՞ աղջիկ և քանի՞ տղա էին մասնակցում մրցումներին։

Պատասխան՝35 տղա և 18 աղջիկ։

1. Երկու հոգի 15․000 դրամը պետք է բաժանեին այնպես, որ մեկին մյուսից 4 անգամ շատ հասներ։ Քանի՞ դրամ կհասնի յուրաքանչյուրին։

Պատասխան՝3,000 դրամ, իսկ երկրորդը՝ 12,000 դրամ։

1. Կոնֆետի համար վճարել են 3 անգամ ավելի կամ 600 դրամով ավելի, քան թխվածքի համար։ Որքա՞ն են վճարել թխվածքի համար։

Պատասխան՝թխվածքի համար վճարել են՝300 դրամ։

1. Տետրերի համար վճարել են 4 անգամ ավելի կամ 720 դրամով ավելի, քան քաննոների համար։ Որքա՞ն են վճարել քանոնների համար։

Պատասխան՝քանոնների համար վճարել են 240 դրամ։

1. Հայրը 8 անգամ մեծ է աղջկանից, իսկ աղջիկը 28 տարով փոքր է հորից։ Քանի՞ տարեկան է հայրը։

Պատասխան՝հայրը 32 տարեկան է:

1. Մայրը 6 անգամ մեծ է որդուց, իսկ որդին 25 տարով փոքր է մորից։ Քանի՞ տարեկան է մայրը։

Պատասխան՝մայրը 30 տարեկան է։

1.Բնակչության վերարտադրության վրա որ գործոններն են ազդում և ինչպես:

Բնակչության թվի աճի հիմնական աղբյուրը բնական շարժն է, այսինքն` ծնելիության եւ մահացության տարբերությունը (բնական աճը): Բնակչության բնական շարժի ցուցանիշների վրա վճռական ազդեցություն են գործում մարդկանց կյանքի
սոցիալ-տնտեսական պայմանները:Ծնելիության մակարդակը պայմանավորված է բնակչության բարեկեցությամբ, կրթվածությամբ, հասարակության մեջ կնոջ դերով, բնակչության սեռատարիքային կազմով, ազգային
ավանդույթներով, կրոնով։

2. Ուրվագծային քարտեզի վրա նշեք 15 երկիր, որտեղ բնակչության վերարտադրության առաջին տիպն է։

ԱՄՆ,Կանադա,Մեքսիկա,Իսպանիա,Ֆրանսիա,Գերմանիա,Դանիա,Շվեյցարիա,Անգլիա,Իտալիա,Պորտուգալիա,

Նիդերլանդներ,Լեհաստան,Սլովակիա,Սերբիա։

3 Ուրվագծային քարտեզի վրա նշեք 15 երկիր, որտեղ բնակչության վերարտադրության երկրորդ տիպն է։

Չինաստան,Հնդկաստան,Թայլանդ,Պակիստան,Սուդան,Լիբիա,Պերու,Ալժիր,Մալի,Նիգերիա,Բրազիլիա,Բոլիվիա,

Արգենտինա,Չիլի,Բոլիվիա։

Նշված երկրները առանձնացրեք ըստ վերարտադրության առաջին և երկրորդ տիպի

Ֆրանսիա-1

Նիգերիա-2

Սաուդյան Արաբիա-2

Պորտուգալիա-1

Ռուսաստան-1

Արգենտինա-2

Սիրիա-2

Կանադա-1

Ճապոնիա-2

Պակիստան-2

Հնդկաստան-2

Բելգիա-1

Գերմանիա-1

Իտալիա-1

Չինաստան-2

Ալժիր-2

Հայաստան-1

Ուկրաինա-1

Իսպանիա-1

Քենիա-2

Կամերուն-2

Մալթա-2

Ինդոնեզիա-2

Ավստրալիա-2

Չադ-2

Նոր Զելանդիա-2

Հունաստան-1

Եմեն-2

Միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը մի բազմանդամ է, որի անդամներն են այդ միանդամի և բազմանդամի բոլոր անդամների արտադրյալները:

Օրինակ՝ բազմապատկենք a միանդամը և a+b բազմանդամը: Ստանում ենք՝ a⋅(a+b)=a²+ab:

Հիշենք, որ միանդամը բազմանդամով բազմապատկելիս ստանում ենք բազմանդամ:

Եթե վերևի օրինակի հավասարությունը գրենք հակառակ կարգով, ապա նկատում ենք, որ a²+ab բազմանդամը ներկայացվում է a միանդամի և a+b բազմանդամի արտադրյալի տեսքով՝ a²+ab=a(a+b):

Այս գործընթացը անվանում են ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերում: Մեր օրինակում փակագծերից դուրս է բերվել a ընդհանուր արտադրիչը:

Ահա ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերման ևս մեկ օրինակ՝

3x³y−x²y²=x²y(3x−y)

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

3 և (a+b)

3.(a+b)=3a+3b

x և (a-b)

x.(a-b)=xa-bx 

(x+1) և 5

5.(x+1)=5x+5

(a-b) և x

x.(a-b)=ax-b

2)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

(-2)(x+y)=-2x-2y

(7+3y-x²y)(-2xy)=-14xy-6xy²+2x³y²

(-abc)(ab+ac+bc)=-a²b²c-a²bc²-ab²c²

-ac(a+2c)=

3)Ձևափոխեք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի․

2(a+b)+4(a+b)=

4(x-y)+7(x-y)=

4-2(x+1)=

2ab(a+2b)-3ab² (a-4)=

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

(a+3)7=

(x-y)10=

a(x-y)=

a(a+b)=

(a+b-c)2=

(a-b)(-6)=

x(x-y+c)=

(a-b)5a=

2)Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալին հավասար բազմանդամը․

3ab(a²-2a+1)=

2a(x+y)=

(x² +2xy+y²)(-12xy³)=

21a²b⁵ (a³ -4ab² -b²)=

3)Ձևափոխեք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի․

2a-3(b-a)=

2(a-b)-3(a+b)=

a(x-y)-b(x+y)=

3a²-a(3a-4b)-2(b-4a)=

Եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի միջնակետի հետ միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջնագիծ:

Ուստի միջնագծի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողությունները:

1. Գտնել կողմի միջնակետը:

2. Միացնել այդ միջնակետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան միջնագիծը:

Եռանկյունն ունի երեք կողմ, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք միջնագիծ:

Բոլոր միջնագծերը հատվում են նույն կետում:

Եռանկյան կիսորդ կոչվում է եռանկյան անկյան կիսորդի վրա գտնվող այն հատվածը, որը միացնում է եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի վրա գտնվող կետի հետ:

Ուստի, կիսորդի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողությունները՝

1. Կառուցել եռանկյան որևէ անկյան կիսորդը (անկյան կիսորդը անկյան գագաթից դուրս եկող ճառագայթ է, որը կիսում է անկյունը):
2. Գտնել անկյան կիսորդի հատման կետը հանդիպակաց կողմի հետ:
3. Միացնել գտնված կետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան կիսորդը:

Եռանկյունն ունի երեք անկյուն, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք կիսորդ:

Եռանկյան բոլոր կիսորդները հատվում են նույն կետում:

Եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն:

Ուստի, բարձրության կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողություները՝

1. Տանել եռանկյան կողմը պարունակող ուղիղը (կարևոր է այն դեպքում, եթե բարձրությունն իջեցնում ենք բութանկյուն եռանկյան սուր անկյունից):
2. Տարված ուղղի հանդիպակաց գագաթից իջեցնենք ուղղահայաց այդ ուղղին (ուղղահայացը եռանկյան գագաթից տարված հատված է, որը կազմում է հանդիպակաց կողմի հետ 90°-ի անկյուն): Հենց դա կլինի եռանկյան բարձրությունը:

Միջնագծերի և կիսորդների պես եռանկյունն ունի երեք բարձրություն:

Եռանկյան բոլոր բարձրությունները հատվում են նույն կետում:

Որոշ եռանկյունների համար բարձրությունների կառուցումը և դրանց հատման կետերի դիրքերը տարբերվում են:

Ուղիղ անկյուն ունեցող եռանկյան մեջ ուղիղ անկյուն առաջացնող կողմերը եռանկյան բարձրություններն են, քանի որ դրանք փոխուղղահայաց են: Այս դեպքում բարձրությունների հատման կետը փոխուղղահայաց կողմերի ընդհանուր գագաթն է:

Եթե եռանկյունն ունի բութ անկյուն, ապա սուր անկյուններից իջեցված բարձրությունները դուրս են գալիս եռանկյունից՝ դեպի շարունակված կողմերը: Բարձրությունները պարունակող ուղիղներն այս դեպքում հատվում են եռանկյունից դուրս:

Առաջադրանքներ․

1)Գծե՛ք սուրանկյուն,ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ, տարեք միջնագծերը։

2)Գծե՛ք սուրանկյուն,ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ, տարեք կիսորդները։

6

3)Գծե՛ք սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ, տարեք բարձրությունները։

4)A և C կետերը գտնվում են a ուղղի միևնույն կողմում: a ուղղին  տարված AB և CD ուղղահայացները հավասար են:

ա)Ապացուցեք, որ Δ ABD=Δ CDB-ին։

AB=DC

BD-ն ընդհանուր կողմ է

<ABD=<BDC որպես ուղիղ անկյուններ

Հետևաբար ΔABD=ΔCDB

բ)Գտեք < ABC-ն, եթե < ADB = 44^o

<CBD=<ADB=44^o

<ABC=ABD-<CBD=90-44=46^o  

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Երեք հատվածներ հատվում են նույն կետում: Գտի՛ր նկարը, որում ցույց է տրված եռանկյան բարձրությունը:

2-րդ

2)Գտիր, թե ո՞ր նկարում է տարված եռանկյան կիսորդը.

2-րդ

3)ABC եռանկյան մեջ AB=7սմ, BC=6սմ, AC=10 սմ։ Տարված են այդ եռանկյան AD, BE և CF միջնագծերը։ Գտեք AF, BD և CE հատվածների երկարությունները։

AF=AB/2=7/2=3,5 սմ

BD=BC/2=6/2=3 սմ

CE=AC/2=10/2=5 սմ

Մի երկուշաբթի, օր առավոտյան ես արթնացա,որպեսզի գնամ դպրոց։Պատրաստվեցի,նախաճաշեցի և գնացի դպրոց։Դա սովորական օր էր ինձ  համար։Մենք ընկերներով զրույցում էինք տարբեր ծիծաղելի բաների մասին։Այնուհետև մենք գնացինք մեր դասարան։Դասերը ավարտելուց  հետո, մենք գնացինք տուն։Երբ ես եկա տուն, ունեի շատ տնային առաջադրանքներ կատարելու։Ես ամբողջը առաջադրանքները կատարեցի,ընթրեցի և գնացի քնելու։ Երբ ես առավոտյան զարթնեցի, նայեցի օրացույցին և տեսա,որ այսօր կրկին երկուշաբթի էր։Բայց ինչպե՞ս կարող էր դա լինել,եթե երկուշաբթի երեկ էր։Ես շուտ պատրաստվեցի,որպեսզի գնամ դպրոց։Դպրոցում իմ ընկերները զրույցում էին նույն բանի մասին,ինչ երեկ։Կրկին նույն դասերը անելուց հետո, ես վերադարձա տուն։Տանը կրկին կատարեցի տնային առաջադրանքները և գնացի ընթրելու։Սեղանի վրա դրված նույն ընթրիքը,որը որ ես երեկ կերել էի։Եվ բարկացած գնացի քնելու․․․Բայց հանկարծ ես լսեցի իմ մայրիկի ձայնը։

-Էրի՛կ, վե՛ր կաց, դպրոցից կուշանաս։

Ես հասկացա,որ դա երազ էր, քանի որ այսօր արդեն երեքշաբթի էր։Այդ երազը ես մինչ օրս հիշում եմ։

1. Տրված գոյականները երկու խմբի բաժանի´ր:

Մարմին, մշակույթներ, նյութեր, շարժում, ժամանակ, մարմիններ, ճանապարհ, օրացույցներ, դաշտ, շարժումներ, նյութ, դաշտեր, մշակույթ, ճանապարհներ, ժամանակներ, օրացույց:

2. Յուրաքանչյուր բառի  իմաստն արտահայտի՛ր բառակապակցությամբ. գտի՛ր  երկու խմբի բառերի նմանությունն ու տարբերությունը:

1)Ձևափոխեք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի․

ա)(x² + 4x) + (x² — x + 1) — (x²— x)=x²+4x+x²-x+1-x²+x=x²+4x+1

բ)(a⁵ + 5a² + 3a — a) — (a³ — 3a² + a)=a⁵+5a²+3a-a-a³+3a²-a=a⁵⁺8a²⁺a-a³

գ)(x² — 3x + 2) — (-2x — 3)=x²-3x+2+2x+3=x²-x+5

դ)(abc + 1) + (-1 — abc)=abc+1-1-abc=0

2)M և N տառերի փոխարեն ընտրեք այնպիսի միանդամներ, որպեսզի տեղի ունենա հավասարությունը․

ա)(a + b + c) + (M — N + c) = 4a — 2b + 2c

M=3a

N=-3b

բ)(7x — N) — (M + 2y) = 3x — 2y

N=0

M=4x

գ)(M + N) — (2a — b) + (a — 4b) = 5a + 7b

M=6a

N=10b

դ)(a — M) — (N + 7b) — (2a + b) = -5a — 10b

N=4a

M=-2b 

3)Տրված են A = a + b, B = 3a — 2b, C = a — 7b բազմանդամները։ Գտեք․

ա)A + B + C=(a+b)+(3a-2b)+(a-7b)=a+b+3a-2b+a-7b=5a-8b

բ)A + B — C=(a+b)+(3a-2b)-(a-7b)=a+b+3a-2b-a+7b=3a+6b

գ)A — B — C=(a+b)-(3a-2b)-(a-7b)=a+b-3a+2b-a+7b=-3a+10b

դ)-A — B — C=-(a+b)-(3a-2b)-(a-7b)=-a-b-3a+2b-a+7b=-5a+8b

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Գրառեք և պարզեցրեք A — B — C + D արտահայտությունը, եթե

ա)A = 7x, B = xy + 4x, C = 5x — xy, D = -8xy

A — B — C + D=(7x)-(xy+4x)-(5x-xy)+(-8xy)=7x-xy-4x-5x+xy-8xy=-2x-8xy

բ)A = a² + 2b, B = 3a² — b, C = b — 2a², D = 2a² — b

A — B — C + D=(a²+2b)-(3a²-b)-(b-2a²)+(2a²-b)=a²+2b-3a²+b-b+2a²+2a²-b=2a²+b

2)Աստղանիշի փոխարեն ընտրեք այնպիսի միանդամ, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն․

ա)2a²b·7a³b=14a⁵b²

բ)14a²c³ ·3a⁴c² = 42a⁶c⁵

գ)8a²c⁷·11a³c² = 88a⁵c⁹

դ)5bc³ · 17b³c⁴ = 85b⁴c⁷